2023年大类资产配置量化模型研究 Black-Litterman模型的实现

1. Black-Litterman 模型是均值-方差模型的改进

1.1. 均值-方差模型开启了量化配置时代

马科维茨（Harry Markowitz）在 1952 年提出了著名的“均值-方差模型” （Mean-Variance Optimization Model，MVO），创建了现代资产组合理论， 将大类资产配置带入到量化配置时代。MVO 模型是大类资产配置理论 的重要基础，其突出贡献在于：（1）提出了“约束+最优解”的标准范式来 研究资产配置问题；（2）采用均值和方差来刻画资产收益与风险，使得 进行量化配置成为可能；（3）同时考虑风险与收益，指出最优的投资组 合并非单纯追求最高收益或最小风险，而是在两者之间找到平衡。均值 -方差模型的输入值包括三部分：收益、风险、反映投资者风险偏好的参 数。

Markowitz 提出的均值-方差模型基于以下几个假设： 1) 投资者是理性的，其行为模式是为了在给定收入和资金水平下最大 化其投资效用。 2) 投资者可以自由获得投资组合的收益和风险的信息。 3) 市场是非常有效的，对信息的反应是及时且准确的。 4) 投资者是风险厌恶的，并希望让投资组合风险最小，收益最大。 5) 投资者基于预期收益和收益的标准差或方差做出投资决策。 6) 在给定风险水平下，投资者更喜欢高收益的投资组合。

1.2. 风险厌恶系数与目标波动率存在一定对应关系

理论中常用的风险厌恶系数不可见，实际投资中目标波动率体现了风险 厌恶程度。事实上，风险厌恶系数与投资者可接受最大波动率存在一定 的对应关系。下面我们以存在借贷约束的投资者为例进行说明，此处引 用杨朝军 (2021)做法。对于我国资产管理者或投资者而言，流动性需求 迫使其资金在使用时需将一部分资金放在无风险资产上，其投资组合的 权重 w 应有 ∑ 1 ≤ 1。

1.3. BL 模型引入主观观点对 MVO 进行改进

MVO模型在理论上具有开创性意义，但在实践中遇到了诸多问题。比 如作为模型输入参数的资产期望收益率难以准确估计，实际应用效果大 打折扣；模型计算结果对输入参数，尤其是预期收益率非常敏感，使得 模型结果很不稳定；容易得到极端的结果，权重集中于少数或个别资产。为了解决这些缺陷，学界和业界不断提出新的理论和方法进行改进。 BL 模型是传统的均值-方差模型的改进。1990 年，高盛的 Fisher Black 和 Robert Litterman 对 MVO 进行改进，开发了 Black-Litterman 模型（简 称 BL 模型），并于 1992 年将其发表，后被业内广泛使用。BL 模型采用 贝叶斯理论将主观观点与量化配置模型有机结合起来，通过投资者对市 场的分析预测资产收益，进而优化资产配置权重。BL 模型有效地解决了 均值-方差模型对于预期收益敏感的问题，同时相较纯主观投资具有更高 的容错性，为投资者持续提供高效的资产配置方案。

2. Black-Litterman 模型理论介绍

Black-Litterman 模型的具体实现过程主要分四步：（1）通过逆向优化从 市场均衡条件出发得到关于资产预期收益的先验估计；（2）将投资者的 主观观点作为新的信息，计算观点分布；（3）将先验收益分布和主观观 点分布结合，使用贝叶斯方法计算得到资产预期收益的后验估计；（4）， 将后验收益和后验协方差矩阵输入均值-方差模型中进行优化求解，得到 具体的资产配置比例。其中，市场均衡收益、后验分布的计算是重点， 参数设置的合理性、主观观点的预测准确性是模型效果的关键。

2.1. 模型理论准备

2.1.1. 资产收益建模

无论是 BL 模型还是均值-方差模型，都需要先对资产收益、风险特征进 行建模。均值-方差模型采用均值与协方差矩阵实现对资产收益和风险的 刻画；BL 模型在此基础上更进一步，将投资者主观观点建模汇入模型之 中。按照 Walters (2009)做法，我们从收益率的正态分布假设出发，构建 一个有关资产收益的基础模型，为后续的 BL 模型的进一步理论推导做 准备。假设各资产的未来实际收益率 r 服从均值为，协方差为Σ的正态 分布。

2.1.2. 贝叶斯公式

贝叶斯公式是根据英国数学家贝叶斯的思想发展而来。贝叶斯思想源于 一个简单的事实——人们会根据新的信息更新对于已有事物的观念。后 人根据贝叶斯的思想创建了统计学中声名远扬的贝叶斯理论。贝叶斯理 论与人们对事物的认知过程相吻合，为近现代的统计理论进步做出了卓 越贡献。Black 和 Litterman 正是利用了贝叶斯理论，把主观观点和对资 产收益率的先验估计相结合，形成最终的对资产预期收益率的估计，即 资产收益率的后验估计。

2.2. 第一步：CAPM 框架下反解先验分布

在没有主观观点的情况下，我们将公式（14）中的称为先验收益率。在 BL 模型中，资产的先验收益率实际上是由 CAPM 框架下市场均衡条件 下的市场投资组合的权重与市场风险厌恶系数，通过逆优化反解(reverse Optimization)而来。 在 CAPM 的框架下，当投资者观点中性或市场中投资者的观点相互抵消 时，市场处于均衡状态，资产均衡收益的分布即贝叶斯公式中的先验分 布；当投资者形成主观观点时（市场中出现了新的信息，并将逐渐反映 到市场价格中），市场均衡出现了移动，市场均衡条件下的资产预期收益 率理应发生偏离，其分布对应贝叶斯公式中的后验分布。CAPM 给出了 均衡状态下的市场组合权重、市场组合收益率和各个资产收益率之间的 关系。

2.3. 第二步：投资者主观观点的数学表达

BL模型将投资者关于资产收益率的主观观点作为输入变量，投资者的 主观观点可以通过 P、Q 和 Ω 的形式进行设定。假定投资者有对 n个资 产具有 k 个观点，并且投资者的这些观点可以用如下方式表示： a) P：资产观点矩阵。P 是一个 k*n 的矩阵，每一行是一个观点，表示 的是每一个观点中各个资产的关系。 b) Q：观点收益矩阵。Q 是一个 k*1 的矩阵，表示的是每个观点对应的 收益率。 c) Ω：是观点误差的协方差矩阵。Ω 是一个 k*k 矩阵。Black 和 Litterman （1992）假设，不同投资观点之间是没有影响，不相关的。故 Ω 是 一个对角阵，其对角线上每一个元素是观点误差的方差，反映了投 资者对该观点的信心水平。Ω-1 则表示投资者观点的置信度。

2.4. 第三步：将先验分布和主观观点结合得到后验分布

前面 2.2 和 2.3 两个小节介绍了如何在市场均衡条件下得到收益率的先 验估计以及主观观点的数学表达形式。这一节着重介绍如何把先验估计 和主观观点通过贝叶斯方法融入得到预期收益率 r 和协方差的后验估 计。

BL 模型涉及的变量比较多。总结一下主要有以下变 量： 1) 资产在市场均衡条件下的收益率。资产均衡收益率构成了对于资 产预期收益的先验分布。Π可以通过逆向优化反解，由给定的风险厌 恶系数 λ、资产协方差矩阵Σ和市场均衡权重计算得到。 2) 投资者的主观观点 P 和 Q。一般表示投资者对于资产的收益率预测 情况或资产间的收益率差异情况。其中，P 是观点矩阵，表明了主观 观点涉及哪些资产。Q 是主观观点收益向量，表示每个观点所对应 的收益率大小。 3) 主观观点不确定性矩阵 Ω。Ω 实际是观点误差项的协方差矩阵，表 示投资者对于每一个观点的不确定性。 4) 先验分布协方差矩阵相对于协方差矩阵的比例τ。该权重取值为0到 1 之间，决定了模型受主观观点影响的大小。τ 越大，表明投资者的 主观观点对模型结果的影响越大。

2.5. 举例：BL 模型与 MVO 模型单期结果对比

BL 模型通过贝叶斯方法把主观观点对收益率融入收益率估计中，进而 对资产配置权重产生影响。为了对这种影响有更加清晰的认识，我们这 里进行一个简单的 BL 模型求解示例。

我们假定这四类资产的市场均衡权重为0 = (15%, 22%, 40%, 23%)，那 么我们可以根据公式(24)反解出各个资产先验收益率Π。我们假定沪深 300 未来一个月的年化收益率为 10%，恒生指数为 1%，标普 500 与日经 225 指数不形成任何主观观点。我们对其分别使用均值-方差模型和 BL 模型求解各个资产的最优配置权重。

2.6. Black-Litterman 模型的缺陷和学术上的改进

尽管 Black-Litterman 模型克服了传统均值-方差模型的诸多弊处，但实际 应用中仍存在一些缺陷。首先，观点的准确性直接影响模型的效果，观 点错误会给组合带来较大风险；其次，观点输入方式较为单一，往往需 要投资者对于资产有较为具体的收益预测；再次，模型输入参数较多， 个别参数取值没有统一的选取方式，也增加了实际使用难度；最后，模 型假设收益率呈正态分布，与实际的尖峰厚尾分布有较大差别。针对这 些问题，大量的学者对其进行了较为细致的研究并加以改进。 为了解决这些问题，大量的学者对其进行了较为详细的研究。为了改变 观点矩阵的输入方法，Edward Qian、Stephen Gorman 在 2001 年提出了 新的模型（以下简称 QG 模型 ），将针对波动率和相关性的观点设计到 了模型中；Robert Almgren、Neil Chriss 在 2004 年提出了将收益率排序 观点进行融合的模型（以下简称 AC 模型）；Jacques Pezier 在 2007 年提 出了在最小区别原则（Least discrimination）下的相对熵模型（以下简称 P 模型）。前 KKR 首席风险官 Attilio Meucci 提出的 Entropy Pooling 模 型(简称 EP 模型)在诸多模型基础上再做改进，计算方便快捷，是此类 模型的集大成者。Meucci (2010) 将学术界对 Black-Litterman 模型的改 进进行了总结，具体见下表。我们后续会根据需要进行相应研究，本篇 报告仅聚焦实现 BL 的原始基本模型。

3. Black-Litterman 模型的实现

本部分介绍 Black-Litterman 模型的基本实现过程。首先，我们需要对 BL 模型的各种参数选取、主观观点进行设定。然后，编程上主要使用 python 的开源包 PyPortfolioOpt1实现 Black-Litterman 模型，构建一个简单的适 用于“固收+”产品的资产配置策略，并和固定权重模型、MVO 模型的配 置效果做了对比，验证了 BL 相对前两者的有效性。

3.1. 模型参数的设定

BL 模型涉及的参数很多，而且参数的取值不同学者有多种方式。模型能 否有效运作的关键在于主观观点的准确性、参数设置的合理性。但较为 准确的主观观点和适当的参数设置是比较困难的。本报告作为原始基本 模型的介绍文章，选取较通用的做法来讲解 BL 模型的构建和实现。

3.2. Black-Litterman 模型搭建

我们将各资产最近一个月收益作为主观观点，使用 BL 模型构建一个简 单月度资产配置策略，来讲解模型的具体实现过程。策略的收益风险目 标设定为：年化收益 6%左右、回撤 4%左右的固收+策略，其业绩比较 基准为 10%股票+80%债券+10%商品。具体编程实现上，主要使用 PyPortfolioOpt 包计算大类资产先验分布、观点分布和后验分布；然后使 用凸优化求解 Cvxopt 包求解二次优化问题。

3.2.1. BL 模型资产配置策略

3.2.1.1. 大类资产选取

我们选取的投资标的为沪深 300、标普 500、恒生指数、中债-国债总财 富（总值）指数、中债-企业债总财富（总值）指数和南华商品指数，分 别来自股票、债券和商品三种大类资产。由于中债-企业债总财富(总值) 指数数据自 2006 年 11 月 20 日始，故采用的数据区间为 2006 年 11 月 20 日至 2023 年 1 月 31 日。简单起见，无风险利率设定为 2%。我们每 月末使用 BL 模型、MVO 模型对大类资产权重进行求解，构建相应的资 产配置组合。

3.2.1.2. 先验预期收益 Π、协方差矩阵的计算方法

（1）先验预期收益 Π

公式(24) Π = Σ建立了市场均衡权重、风险厌恶系数与资产均衡收 益的联系。Walters (2009)指出，采用公式(24)用市场均衡权重反解求得资 产先验收益，本质是为了降低收益率估计的不稳定性对模型结果的影响。 我们在 2.2 介绍公式（24）和公式（25）时曾指出，对于 Π、、，需 要确定其中两个变量，才能计算第三个。 由于我们选择的大类资产涉及境内外股票，而境内外资本市场的发展阶 段和有效性不同，直接使用市值权重是不合理的。从 3.1 的介绍可知， 大类资产间的市场权重、市场风险厌恶系数都没有统一的做法来确 定取值。我们考虑采用中长期历史收益率——过去五年的资产收益率作 为收益率的先验估计。

具体来说，我们在之后 BL 模型策略构建中尝试了两种做法： 1) 认为未知，每月末使用各资产过去五年的历史收益作为 Π，并指 定风险厌恶系数的值，比如 = 10。由于和存在对应关系，相 当于指定了目标波动率。 2) 对进行人为指定权重，比如采用基准权重，即股:债:商=1:8;1，使 用各资产过去五年的历史收益作为 Π，通过公式（25）反解。此时 每一期的是动态变化的，相当于每一期的目标波动率也在变化。反 解出的 λ 是持有指定（基准）权重组合投资者隐含的风险厌恶系数， 指定（基准）权重组合的波动率为该投资者目标波动率或最大可承受的波动率。

（2）协方差矩阵计算

我们使用过去五年的日收益率样本协方差作为协方差3的先验估计。我们 也对比了采用不同频率（日频、周频、月频）、不同窗口期（过去五年、 三年和一年）的收益率计算的协方差矩阵，发现使用时间越长、频率越 高计算的协方差矩阵估计，最终得到的资产组合效果越好。

3.2.1.3. 基准策略组合和 BL 模型策略组合说明

两个基准策略组合。为了对比 BL 模型与传统配置模型的效果差异，我 们这里构建两个基准策略： 1) 固定权重基准策略。固定权重基准策略采用每月末固定各个资产类 别权重的做法（80%债券、10%股票和 10%商品），对单资产类别下 的各个资产进行等权处理，计算策略收益。 2) 均值方差基准策略。我们这里采用风险厌恶系数 = 10，在股票与 商品权重均设置上限 10%、双边换手率设置上限 60%的约束条件下， 构建均值-方差模型作为基准，对比 BL 模型与其优劣。 两个 BL 模型策略介绍。下面在股票与商品权重均设置上限 10%、双边 换手率设置上限 60%的约束条件下，我们分别给定风险厌恶系数或市 场均衡权重，构建两种 BL 模型策略。 1) BL 模型策略 1：给定市场风险厌恶系数( = 10)下，进行 BL 模型 计算。事实上，给定风险厌恶系数相对于给定了目标波动率。从后 面结果可以看出， = 10基本对应波动率 ≈ 2.1%左右，而 = 1基 本对应波动率 ≈ 2.2%左右。 2) BL 模型策略 2：设定在市场均衡状态下，人为给定股票、债券和商 品的市场的比例(1:8:1)；在某个资产类别下我们对各个细分资产进 行等权处理。根据公式(25)，我们可以反解出对于当前市场权重的 风险厌恶系数，进而进行 BL 模型计算。当投资者的目标波动率（最 大可承受的波动率）和市场组合的波动率一致时，投资者的风险厌 恶系数和市场权重隐含的风险厌恶系数一致。如果投资者目标波动 率小于市场组合波动率，其风险厌恶系数值会大于市场组合隐含的 。

3.2.2. 不同参数取值对模型策略结果的影响

下面我们展示不同参数取值对模型策略结果的影响。对于 BL 模型策略 1，不同的参数取值（双边换手率限制、资产权重约束、风险厌恶系数） 对于模型策略表现的影响；对于 BL 模型策略 2，不同的参数取值（市场 均衡权重、资产权重约束）对于模型策略表现的影响。

3.2.2.1. 不同的参数取值对于 BL 模型策略 1 的影响

（1）不同双边换手率限制对 BL 模型策略 1 的影响

我们前面设定了双边换手率限制在 60%，旨在限制 BL 模型和均值-方差 模型在进行资产配置时出现大幅度调仓。下面考察不同双边换手率限制 对 BL 模型策略 1 的影响。我们固定风险厌恶系数为 10，设置股票权重 上限和商品权重上限分别为 10%，分别计算双边换手率为 20%、40%、 60%、80%、100%和无双边换手率限制时 BL 模型的策略表现，具体见 下图 8。 由下表 7 可知，当我们将双边换手限制设置较低时，由于 BL 模型可调 仓空间较小，模型整体配置能力受到限制，BL 模型策略走势与传统均值 -方差模型表现差异较小，年化收益也较低；当双边换手率限制放宽时， BL 模型策略的年化收益相应提升；当双边换手率无限制时时，BL 模型 策略充分发挥主观观点的配置效果，其回撤水平与年化收益也较为稳定。

（2）不同的资产权重约束、不同市场风险厌恶系数对BL模型策略1的 影响

我们前面设定了资产权重约束限制在 10%。下面考察不同资产权重约束 限制对 BL 模型策略 1 的影响。我们固定风险厌恶系数为 10，统一设置 双边换手率限制为60%。分别计算股票权重上限和商品权重上限为5%、 10%、15%、20%限制时 BL 模型策略 1 的策略表现，见图 9。由表 7 可 知，结论和双边换手限制结论类似，股票和商品的约束上限提高为投资 组合带来了更多收益的机会，但在整体上同时带来了更大的回撤和波动。

风险厌恶系数体现了此时投资者对于投资组合的风险敏感程度。考察不 同风险厌恶系数条件下 BL 模型策略 1 的表现情况，这里统一设置双边 换手率限制为 60%，见图 10。由下表 8 可知，随着风险厌恶系数的提 高，模型的年化波动率减小，这与 1.2 的结论一致。

3.2.2.2. 不同的参数取值对于 BL 模型策略 2 的影响

（1）不同股票商品权重上限、不同市场均衡权重对 BL 模型 2 的影响

根据公式(24)与公式(25)，我们尝试从给定市场均衡条件下的各个资产权 重出发，反解出市场当前风险厌恶系数进行 BL 模型搭建，进而观察市 场均衡权重对 BL 模型的影响。其中，公式(25)的市场无风险利率统一设 置为 2%。 首先，考察不同资产权重约束限制对 BL模型策略 2的影响。我们固定 风险厌恶系数为 10，统一设置双边换手率限制为 60%。分别计算股票权 重上限和商品权重上限为 5%、10%、15%、20%限制时 BL 模型策略 2 的策略表现。由表 9 可知，结论和 BL 模型策略 1 类似，股 票和商品的约束上限提高为投资组合带来了更多收益的机会，但在整体 上同时带来了更大的回撤和波动。

然后，考察不同市场均衡权重对 BL 模型策略 2的影响。我们首先设定 股票、债券和商品三种类别资产之间的比例。然后，在具体某个资产类 别下我们对各个细分资产进行等权处理，最终得到各个资产的市场均衡 权重。股债商三种类别资产的市值权重比例分别取（1:8:1）、（1.5:7:1.5）、 （2:6:2）、（2.5:5:2.5）。由表 8 可知，如果我们预设市场均衡条件下高波 动资产所占比例越高，此时对应的市场的风险厌恶系数越低，进而策略 的波动性增大；反之，若降低市场均衡条件下的高波动资产所占比例， 则策略的最大回撤和年化波动都能得到较好的控制。

总的来看，我们使用大类资产最近一个月收益作为主观观点构建的BL 模型策略，相对于传统的 MVO模型策略和固定权重策略表现较好。BL 模型策略不仅年化收益有所提高，最大回撤与波动率都有明显降低。采 用最近一个月的资产收益率作为主观观点具有一定的局限性，如果使用 者的预测能力较高、能给出更好的主观观点，或者有更好的大类资产收 益预测方法作为主观观点，BL 模型的配置能力可以得到更好的展现。

4. 总结

本篇报告作为入门文章，主要介绍了资产配置领域的经典模型—— Black-Litterman 模型的基本理论和计算步骤。首先介绍了 BL 模型的基 础——均值方差模型，重点指出风险厌恶系数与投资者可接受最大波动 率存在一定的对应关系。然后，详细介绍了 BL 模型的基本理论和计算 过程。其中，市场均衡收益、后验分布的计算是重点，参数设置的合理 性、主观观点的预测准确性是模型效果的关键。最后，将一个月动量作 为主观观点，使用 BL 模型编程实现了一个简单的资产配置策略。历史 回测表明，BL 模型效果整体优于 MVO 模型和固定权重模型。其中,2012 年以来 BL 模型策略 1 的年化收益为 6.58%，最大回撤为 3.13%；明显好 于均值方差基准策略（年化收益 5.82%、最大回撤 3.86%）和固定权重 基准策略（年化收益 5.41%、最大回撤 3.55%）。

本文不足之处在于，我们仅采用最近一个月的资产收益率作为主观观点 具有一定的局限性。倘若主观观点的预测能力提升，或者有更好的大类 资产收益预测量化方法作为主观观点，BL 模型的配置能力可以得到更 好的展现。此外，学术界对 Black-Litterman 模型的改进暂时没有涉及， 我们后续会根据需要进行相应研究。

未来研究计划上，除了提高大类资产上观点（主观观点、量化观点）的 准确性 改进 BL 模型效果，也会考察模型在行业配置、因子配置上的效果。此外，我们将继续研究风险平价/预算模型、宏观因子配置等模型在 国内市场上的应用。大类资产收益预测、风险（协方差矩阵）估计、股 债轮动等方向也会有相关研究发布。

编辑：999感冒灵