2023年量化专题报告 可转债定价模型综述

一、可转债定价模型

1.1、可转债定价模型综述

目前比较常见的可转债定价模型主要分成以下两个类型，两类模型各具优缺点： 分离法：分离法即将转债拆分成简单资产的组合，比如最常用的“债券+期权”方 法。该方法的优点在于简单易理解，但是无法包含复杂的转债条款，并且定价逻辑 并不严谨。 整体法：整体法将转债作为一个整体，并观察转债未来可能发生的现金流，通过将 期望现金流折现的方式进行定价。这其中比较熟知的方法为蒙特卡洛模拟、二叉树、 有限差分法等数值方法。这种数值方法可以包含较多的复杂条款，但是其运算效率 过低，往往需要数小时的计算才能完成转债定价。

1.2、定价模型假设

模型假设即代表着我们是对怎样的一种可转债进行定价，我们对转债模型有着如下假设： 可转债不存在回售与下修条款：省略回售条款的原因为其发生的次数较少。尽管下 修条款历史上出现次数较多，但是很多时候转债在满足下修条件时，发行人选择不 下修，且下修幅度很难估计。同时若加入回售与下修条款，模型复杂性较高，如 Feng 等（2016）。因此出于上述原因，此处假设转债没有回售与下修条款。

可转债存在赎回保护期：赎回保护期即在某个规定的时间内，转债发行人不可以执 行赎回条款，赎回保护期有以下两种：1）对于刚上市的转债，往往存在着约半年的 赎回保护期。2）若上市半年后股价满足赎回条件，且发行人选择不赎回时，发行人 有时会规定未来多长的期限之内不会赎回。 若转债不处于赎回保护期，股价碰触赎回线后立即赎回：若未来转债已经脱离赎回 保护期，则股价碰触赎回线（转股价的 130%）后便会立刻赎回且终止。 由此，上述这类转债也被称为“有赎回保护期的可赎回可转债”，后文我们将此模型统一 简称为“CCB 模型”。

1.3、模型参数设置

CCB 模型的参数符号与释义，所有参数均为期初已知参数。其中利率参数与 为连续利率，因此我们需要将平常使用的年利率转换为连续利率。 同时，模型对赎回保护期的设置规则如下：1）当转债刚刚上市时，转债往往会有半年左 右的保护期，则按照转债实际规定的保护期结束日期计算赎回保护期长度 ；2）随着转 债逐渐脱离半年的保护期，模型同时会设定转债至少有一个月的保护期，原因在于：从 转债满足赎回条件且发行人选择赎回，到最后的赎回日，往往至少会有一个月的时间。

1.4、完全拆解法

① 完全拆解法。完全拆解法即考虑了转债平价未来所有可能的路线，对每种路线的期望 现金流进行贴现，最后将贴现现金流加总作为可转债价格。此处我们以风险中性框架进 行定价，为了展示的更加清晰，我们将现金流分为权益现金流与债券现金流两种：权益现金流：即当转债最后是以转股的方式结束时，转债持有人会获得权益现金流。 此时发行人不需要支付现金，因此此类现金流是不含有信用风险的。债券现金流：债券现金流由两个部分组成，其一是转债在存续期内所支付的票息， 另一个是若转债到期时没有转股，则发行人需要支付面值与最后一期票息。债券现 金流是发行人需要用“真金白银”去兑付的，因此债券现金流是有信用风险的。

② 使用信用利差调整债券现金流。在风险中性世界中，现金流都是按照无风险利率进行 贴现的，然而债券现金流是含有信用风险的，因此无法简单的将票息与面值按照无风险 利率进行贴现。

1.5、权益期望现金流

当转债最后以转股的方式终结时，我们可以获得权益现金流。按照完全 拆解法，转债平价未来只可能有 4 条路径，转债会获得如下不同的权益现金流： 路径 1：平价在赎回保护期刚结束的 时大于赎回线 ，此时转债会被立即赎回，转 债持有人此时会获得权益现金流 。 路径 2：平价在 时的价格小于赎回线 ，但是在转债到期之前的 ~ 间触碰到了 赎回线并触发了赎回条款，此时转债持有人也会获得权益现金流 ∗ = 。

路径 3：平价在 时点以及 ~ 间都没有触碰赎回线，但是在转债到期时平价大 于 （最后一期债券现金流的终值，即打折后的面值+票息），此时转债持有人也 会选择以转股的方式结束转债，从而获得权益现金流 。 路径 4：平价在 时点以及 ~ 间都没有触碰赎回线，且在转债到期时平价小于 ，此时转债持有人会选择拿最后一期债券现金流而不是转股，因此此条路径下 权益现金流为 0。

1.6、债券期望现金流

当转债支付票息，或者最后以债券的方式终结时，转债会获得债券现金流。债券现金流按照发生时点的不同可以分为以下三种： 发生在赎回保护期内的票息。即在 之前时，由于可转债无法被赎回，转债在该期 间内一直存续，因此这部分票息一定可以拿到，债券现金流期望值为∑ 1 =1 ，其中 1代表在保护期内支付的债券现金流期数。 发生在赎回保护期与到期日之间的票息。即在 与 之间时，若票息支付时转债没 有被赎回，则可以拿到票息，反之便拿不到。因此此类债券现金流的期望值为 ∑ −1 =1+1 。其中 为一个函数，代表在第 期转债票息支付日 时，转 债还没有被赎回的概率。

发生在到期时的票息与面值。即在 时刻时，若转债到期未赎回，且平价 小于 ， 则转债持有人会选择拿面值+票息。因此此类债券期望现金流为 4 ，即最 后一期债券现金流的现值乘以路径 4 的概率。

1.7、数值方法进行模型验证

为了验证定价模型公式的准确性，较为简单且常用的方式是通过数值方法进行验证。此 处我们使用蒙特卡洛模拟法计算有赎回保护期的可赎回可转债的模拟价格，模拟使用参 数为：波动率取 50%，赎回保护期分别取半年与一个月，转债剩余期限六年，无风险利 率 2%，信用利差 3%，票息每年 1，到期时面值加票息 108。对于每一个转债价格，蒙 特卡洛模拟的路径数为 1 万条，步数为 5 千步。模型的解析解与模 拟解之间的差距非常小，误差平均在 0.25%左右，可见解析解与模拟解较为一致，CCB 模型公式准确。

1.8、CCB模型与传统的BS模型的区别

那么本文的CCB模型和传统的 BS模型定价之间有何区别呢？此处我们对比了一下两个 模型的区别： 随着平价上涨：当转债由平衡逐渐偏股时，由于赎回条款的影响，CCB 模型定价会 逐渐接近于平价，转债本身的价值十分接近转股价值。而对于 BS 模型来说，当转 债偏股时，其价格相较于平价仍然偏高。CCB 模型与 BS 模型之间的价差即为赎回 条款对转债估值的压缩。随着赎回保护期参数的上升且越接近剩余期限，CCB 模型 定价会越接近于 BS 模型定价。 随着到期日临近：CCB 模型与 BS 模型之间的价差随着转债到期而逐渐收敛，说明 赎回条款对转债价格的影响会随着转债到期而降低。

我们将三个月正股波动率分别带入到CCB模型与BS模型之中得到每个转债每 天的理论价格，同时称“真实价格/模型定价-1”为定价偏离度，偏离度的绝对值为定价 误差。我们选取余额在 3 个亿以上且评级 AA-及以上的转债，计算偏债、平衡、偏股转 债的平均误差，以及市场等权的定价偏离度： CCB 模型误差更小：由于平衡偏股型转债受到赎回条款的影响更加明显，因此使用 BS 模型定价会有明显高估，误差更大。CCB 模型定价误差较小，偏债、平衡、偏股 型转债的误差均在 5.6%附近，分布比较平均。

CCB 模型定价偏离度中枢接近于 0：BS 模型的定价偏离度的中位数为-4.7%，说明 BS 模型对转债价格有着系统性的高估。而 CCB 模型定价偏离度中位数为 1.3%，因 此我们可以近似认为 CCB 模型的定价偏离度中枢为 0，转债价格围绕着模型理论定 价上下波动。由此可见，CCB 模型更加贴近于真实市场环境。

1.9、CCB模型定价示例

① 可转债定价案例一。我们以下图的真实转债 A 作为示例展示 CCB 模型的定价效果。 自从转债 A 上市以来，转债的真实价格与 CCB 模型定价较为贴合。当 2021 年 6 月后转 债平价满足赎回条件后，由于赎回条款的影响，转债价格贴近于平价，此时 CCB 模型便 能很好的反应出赎回条款的影响。相比之下，BS 模型几乎长期高估转债价格。

② 可转债定价案例二。自从 2021 年开始，转债估值逐渐走高。转债估值升高的其中一 个原因为：很多转债在满足了赎回条件后，转债发行人选择不赎回可转债。投资者在发 现这个现象后，便会预期转债未来大概率不赎回，使得转债隐含了交易出来的赎回保护 期，从而推高了转债的价格。这种现象是 2021 年起很多转债的定价逻辑，本质是对赎 回条款进行的博弈。 此处我们以转债 B 作为例子进行展示，同时将真实价格通过 CCB 模型反推出价格隐含的 赎回保护期。可以发现，当转债第一次满足赎回条款且发行人公告不赎回后，转债隐含 了约半年左右的赎回保护期。但是当第二次满足赎回条款后，发行人选择赎回转债，隐 含赎回保护期直接降低到接近于 0，转债价格也贴近了平价。

由前文可知，转债隐含的赎回保护期在一定程度上和发行人的赎回行为有关。我们可以 构建“满足赎回条件转债占比”指标，将其作为衡量发行人赎回意愿的代理变量。若该 指标越高，则说明发行人赎回意愿低。由下图可以看出： 自 2018 至 2020 年年中：转债发行人赎回意愿高，转债满足赎回条件后便被赎回， 导致满足赎回条件占比的转债数量低。自 2021 年开始：由于大股东仍然持有转债、或担心执行赎回条款后股价下跌等多 种原因，此时转债发行人在满足赎回条件后倾向于不赎回可转债，从而使得市场平 均隐含赎回保护期增加，转债的估值水平也达到历史新高。当前满足赎回条件的转 债占比下降，然而隐含保护期仍然处于高位。

二、可转债定价模型的应用

1.1、可转债定价偏离因子

基于 CCB 定价模型，我们可以构建可转债定价偏离因子，即“定价偏离因子=转债真实 价格/CCB 模型定价-1”，并带入专题报告《可转债资产替代策略与多因子策略》中的多 因子回测框架中。其中，择时框架的细节如下： 回测时间：2018 年 1 月到 2023 年 2 月，双周度调仓。  转债限制：1）转债余额大于等于 3 亿元；2）转债外部评级 AA-及以上；3）开仓时 转债非全天停牌，并且尚未发出赎回公告，以及距离转债到期日大于三个月。 回测方法：每个月月底按照因子值从小到大对转债进行排序，等分成 3 个分组，分 别查看 3 个分组相较于市场等权指数(去除余额、评级等条件不满足的转债)超额收 益、信息比率、Rank IC(调仓期初个券因子排序与调仓期末个券收益率排序的相关 系数，若 Rank IC 绝对值越大，则说明因子对转债未来超额收益的预测能力越强)。

定价偏离因子本质属于“低估值”因子，即寻找真实价格相较于模型定价较低的转债， 从而获取定价误差的收益。因此，我们可以和前述报告中表现较好且同为估值因子的隐 波差(隐波-正股历史波动率中枢)进行比较。 ① 定价偏离因子超额收益显著且稳定性强。由下图可以看出，定价偏离因子的年化超 额为 8.97%，信息比率 2.18，Rank IC 为-6.51%，超额收益的显著性与稳定性都要强于 隐波差因子。定价偏离因子更加有效的原因之一在于 CCB 模型定价相对 BS 模型更加准 确，能够更好地发现被低估与高估的转债。

同时，基于前述报告中的“因子超额收益的绩效归因”模型，我们可以将因子的超额收 益拆为“择时”与“选债”收益： 择时收益：代表某因子相对于市场基准超配了偏债、平衡或偏股转债所获得的超额 收益。如转股溢价率因子超配了很多偏股型转债，其择时收益高。择时收益往往不 稳定，原因在于绝大部分因子对偏债、平衡、偏股进行择时的难度较大。

选债收益：代表某因子在偏债、平衡或偏股内部获得超额收益，选债收益往往稳定 性较强。 由于赎回条款的影响，用 BS 倒算的隐波在股性转债中往往偏低，导致隐波差因子会超 配很多偏股转债。因此尽管隐波差因子获得了较高的择时收益（如 2020-2021 年超额弹 性足），但是一旦股性转债大幅回撤（如 2022 年），其超额也会受到较大的影响。而对 于定价偏离因子来说，CCB 定价偏离度在偏债、平衡、偏股中较为接近，因此因子并不 会超配偏股转债，使得因子超额稳定性更强。

1.2、可转债市场择时

对于可转债投资者来说，由于偏债、平衡与偏股转债的收益风险特征各异，如何在三个 分域中进行择时与权重配置便显得非常重要。其中，最常见的择时指标为“不同分域的 估值”，即当某一个分域中转债估值过高时，则对该分域进行低配，从而避免该分域市 场情绪过热导致可能的回撤。反之若某分域估值较低时，则适合进行左侧配置。然而目 前常用的估值指标均存在一些缺点： 转股溢价率&纯债溢价率：这两种溢价率无法同时度量偏股与偏债转债的估值，即 使我们将两者综合，得到溢价率=转债价格/max(平价,债底)-1，平衡转债的溢价率 也远高于偏债与偏股转债，导致平衡转债与其他分域不可比。 隐波&隐波差：隐波受到赎回条款的影响较大，偏股转债隐波中枢低于平衡偏债转 债，导致偏股与平衡偏债转债的隐波以及隐波差不可比。

基于前文研究的结果，CCB 模型计算的定价偏离度在不同分域的中枢较为接近，使得不 同分域估值可比，因此是一个更优的指标。为了比较不同分域的相对估值，我们可以计 算“相对估值”指标，即分域的相对估值=分域 CCB 定价偏离度 ma10 -市场 CCB 定 价偏离度 ma10，并且取±1.5%作为低估与高估的阈值。我们可以 对不同分域的相对估值与超额收益的关系进行历史复盘： 2019 年初与 2020 年初：在 2019-2020 年的区间内，偏股转债被长期低估。此时 相对估值指标建议超配偏股转债，在此之后偏股转债的超额收益十分显著。 2021 年初：由于信用风险事件的影响，偏债转债的估值被快速压缩，偏债转债跌 出了价值。此时相对估值指标建议对偏债转债进行左侧配置，同时减少对偏股转债 的配置权重。 2022 年初：2022 年初偏股转债情绪过热估值水平高，相对估值指标建议低配偏股 超配偏债转债，从而避免了后续偏股转债的超额回撤。

由此，我们可以基于相对估值指标构建“赔率择时策略”。策略双周度调仓，并在调仓 期初判断不同分域是否高估或者低估：若某分域的相对估值>1.5%，则相对于等权指数 低配 40%权重；若某分域的相对估值<-1.5%，则相对于等权指数超配 40%权重。由下 图可见，策略会在某个分域低估时超配该分域，在高估时低配。通过对权重的动态调整， 赔率择时策略可以提供相对稳定的 2.6%年化超额收益，年化单边换手率为 309%。

我们在通过相对估值配置分域权重的基础上，可以继续加入前节的定价偏离因子，从而 形成“赔率择时增强策略”。该策略首先通过相对估值对分域进行权重设定，再基于定价 偏离因子选择分域中 1/3 数量的低估转债对分域进行增强。该策略能够实现年化 25.0% 的绝对收益，波动和回撤分别仅有 13.0%与 12.2%，超额收益 12.5%，信息比例 2.52， 年化单边换手率为 743%。可以发现，在被低估的分域中配置低估值转债有着更优的效 果。

1.3、可转债市场长期收益预测模型

在专题报告《大类资产定价系列之四：可转债收益预测框架》中，我们曾通过分别预测 未来一年转债平价、债底与隐波，最后带入 BS 公式对未来一年转债持有收益率进行预 测。然而在该预测模型中，主要的难点在于：由于赎回条款的影响，需要带入 BS 公式 的偏债、平衡、偏股转债的波动率中枢均有所不同，因此需要分别进行建模计算中枢， 难度较大。 本文介绍的 CCB 模型中内嵌了赎回条款，因此我们直接将个券波动率历史中枢带入模型 即可，不需要进行赎回条款的调整。由此，我们按照以下步骤更新转债收益预测框架， 并对中证转债指数未来一年收益率进行预测。

① 平价预测。我们首先按照中证转债权重编制了中证转债对应的正股指数，并将正股指 数与上证 50、沪深 300 与中证 500 进行回归，得到 beta。同时我们通过专题报告《大 类资产定价系列之三：A 股收益预测框架》中得到以上三个宽基指数的预期收益，带入 beta得到正股指数预期收益，并假设所有转债个券对应正股的预期收益与正股指数相同， 从而得到个券预期平价。

② 债底预测。我们将零息信用债未来一年的持有期收益拆为“利率债持有期收益”+“信 用债超额持有期收益”。1）利率债持有期收益可以通过专题报告《大类资产定价系列之 二：利率债收益预测框架》中的模型进行预测。2）信用债超额持有期收益可以通过不同 评级信用债当前的信用利差作为解释变量进行预测，该预测模型有着较高的 R 方和较好 的预测效果。我们将上述两项加总后便可得到不同评级、不同期限的零息信用债持有期 收益，从而可以计算得到未来的预期债底价值。

③ 波动率预测。在前述报告《大类资产定价系列之四：可转债收益预测框架》中，由于 不同分域中 BS 公式需要带入的隐波受到赎回条款影响很大，所以需要使用回归法对不 同分域的隐波中枢进行度量。而本文中使用了 CCB 模型，该模型中已经包含了赎回条款 的影响。因此，我们直接将正股三个月历史波动率过去一年的中位数，作为预期波动率 并带入模型中即可。④ 未来隐含赎回保护期：通过 CCB 模型与当前真实价格可以倒算出当前的隐含赎回保 护期，作为投资者对可转债赎回保护期的预测。因此个券未来一年的隐含赎回保护期可 按照如下方式计算：未来一年的隐含赎回保护期=max(当前隐含赎回保护期-1,1/12)， 单位为年。

⑤ 转债未来一年预期收益。我们将上述已预测的平价、债底、波动率、赎回保护期等参 数带入到 CCB 模型中，便可以得到转债个券未来的预期价格与预期收益。我们再按照中 证转债权重将个券预期收益计算加权平均值，便可得到模型对中证转债未来一年的收益 预测。截止到二月底，中证转债指数未来一年预期收益为 5.68%，正股预期有正向收益， 但过高的隐含赎回保护期代表了当前转债估值水平较高，在未来可能会有较大的负向贡 献。

1.4、可转债套利策略

我们可以通过定价模型发现被低估的转债，然后买入赚取转债估值回复的收益。然而转 债在估值回复的同时可能会面临股票下跌的风险，导致类似策略仍然获得负向收益。因 此，我们可以在买入低估值转债的同时，通过卖空个股或持有期货空头的方式，使得组 合的 delta 弹性中性来对冲股票风险，这种策略可以被称为可转债套利策略。

那么在平价限制后，转债估值收益与 gamma 收益是否有一定的优化呢？我们对个股对 冲策略进行了收益分解，并且对比了平价限制前后的估值与 gamma 收益。1）在平价限制后，转债估值收益稳定性更强，策略避免了 2020 年至 2021 年初 的估值收益的波动与回撤；2）在平价限制后，gamma 收益也更加显著。

总结

本文主要基于周其源（2008）与周其源等（2009）的研究，对可转债的 CCB 定价模型 进行了进一步的研究与实证。相比于传统定价方法如 BS 模型、二叉树与蒙特卡洛模拟 等，CCB 定价模型有着如下的优点：  相比于二叉树、蒙特卡洛模拟等数值方法，CCB 模型效率高可拓展性强：二叉树与 蒙特卡洛模拟由于是数值方法，计算效率低，基本只能用于对转债进行定价。而本 文介绍的 CCB 模型属于解析解，运算效率高，在可以对转债进行有效、快速定价的 同时，能够实现转债收益分解、参数敏感性测算等其他功能，可拓展性强。

相比于 BS 模型，CCB 模型定价更准确、逻辑更合理：BS 模型由于没有赎回条款， 因此有诸多缺点，如高估股性转债定价、收益分解不合理、delta 参数不符合真实市 场情况等。而 CCB 模型由于考虑到了赎回条款，其优点为：1）对转债定价准确度 高，定价偏离度中枢接近于 0；2）转债收益分解中的估值与债底收益更加合理；3） 对 delta 测算更符合市场情况。

同时，本文还对 CCB 定价模型进行了如下的应用：  可转债定价偏离因子：基于“真实价格/模型定价-1”构建定价偏离因子，该因子收 益显著且稳定性强，能够更加精准识别低估与高估转债。 可转债市场择时：基于不同分域的定价偏离度与市场进行比较，可以生成不同分域 可比的“相对估值”指标。基于该指标可以在某个分域高估时低配，低估时超配， 有着较好的择时效果。 可转债市场长期收益预测模型：我们通过 CCB 模型更新以往的可转债市场长期收益 预测模型，由于CCB模型内嵌赎回条款，因此可以避免对不同分域隐波中枢的预测， 在简化模型的同时，实现了对中证转债指数未来一年收益率的预测。

可转债套利策略：基于 CCB 模型寻找并配置低估转债的同时，通过卖空个股或者期 货的方式实现 delta 中性化，从而获得稳定的转债估值与 gamma 收益，生成绝对收 益稳定的可转债套利策略。

编辑：荣耀2020