2025年金融工程行业分析：马科维茨模型中均值的最优收缩

1 引言

现代投资组合理论（MPT）的性能与参数估计的精度密切相关（Palczewski & Palczewski，2014）。一方面，均值向量和收益协方差矩阵的估计受样本大小有限 的限制；另一方面，参数随时间的自然变化也会影响估计。小样本会导致估计风险， 而参数随时间的变化可能使最旧的观测值变得不可用。因此，投资组合经理必须结 合这两个方面来估计参数。 MPT 的目标是在存在风险资产和一种无风险资产的情况下，确定投资者资金的 最佳投资方式。MPT 在平衡风险和回报方面发挥着关键作用，指导投资者确定每种 资产的投资比例（投资组合权重）。在若干假设下，这一投资规则将帮助投资者在 每个风险水平上获得最大的预期回报。实际上，投资者关注的是在每个承担的风险 水平上获得最大的实际回报，即投资组合的实际回报与无风险资产回报之差除以承 担的风险，这就是所谓的夏普比率（Sharpe，1964）。 MPT 使用均值向量和协方差矩阵作为确定投资组合权重的主要输入。本文重点 评估均值向量估计对 MPT 样本外性能的影响。Best 和 Grauer（1991，1992）表 明，投资组合权重的高敏感性源于协方差矩阵的小特征值以及最大和最小特征值之间的差异。Ortiz 等（2022）的观点也是，将特征值转移到随机矩阵的特征值空间 可以显著降低权重的波动性，并提高其样本外的夏普比率。本文假设均值向量估计 的误差也会导致高投资组合权重和低样本外夏普比率。因此，预计通过减少均值向 量估计误差可以缓解这些问题。

本文假设投资者每月根据现代投资组合理论重新平衡其投资组合，使用基于历 史回报的平均超额回报和协方差矩阵估计。 在传统的频率学派方法中，参数估计通常依赖历史数据作为主要输入。在贝叶 斯方法中，先验知识和历史数据都会被考虑。频率学派的参数估计依赖于参数的渐 近性质，即当观测次数趋向无穷大时。然而，这在观测次数少且有时类似于变量数 量时并不适用。 Stein（1956，1962）表明，将传统均值向量估计和均值的均值（总体均值） 结合的估计器在均方误差最小化度量下比均值向量更有效。这种均值向量估计器被 称为 James–Stein 估计器。它将个体均值向其总体均值收缩。这些估计器可以被视 为所谓的经验贝叶斯估计器的一部分，因为它们明确考虑了实际均值值接近其总体 均值的先验知识。 Jorion（1986）使用这种类型的估计器来估计平均回报向量并确定 MPT 投资 组合权重。Jorion（1985）进行了模拟以测试贝叶斯-斯坦因估计器的优越性。需要 注意的是，贝叶斯-斯坦因型估计器通常使用的方法是实现参数的最佳估计并将它 们纳入给定应用。例如，在投资组合优化过程中，估计参数并输入到确定投资组合 权重的表达式中。根据 Elmachtoub 和 Grigas（2022）的说法，这种方法基于预测 -优化方法。 Ortiz 等（2023）开发了一种不同的方法。他们利用投资组合优化与特定多元 回归之间的等价性（Britten-Jones，1999）。由于这种等价性，他们指出投资组合 优化的一个主要问题是金融资产回报之间的多重共线性过高。因此，Ortiz 等 （2023）使用了类似于 Hoerl 和 Kennard（1970）提出的方法来纠正多重共线性。 这种方法试图通过将协方差矩阵简化为对角矩阵来最小化投资组合权重的均方误差。 需要注意的是，收缩的最佳水平由投资组合权重的均方误差确定，而不是协方差矩 阵的均方误差。根据 Butler 和 Kwon（2023），这种方法基于预测和优化方法。

最优投资组合选择问题是一个随机优化问题。因此，参数估计过程是决策优化 过程的一部分。正如 Elmachtoub 和 Grigas（2022）指出的，随机优化过程通常采 用预测-优化方法。Elmachtoub 和 Grigas（2022）提出了一种智能“预测，然后优 化”的方法，旨在“生成旨在最小化决策误差而非预测误差的预测模型”。随后， Butler 和 Kwon（2023）提出使用集成预测和优化框架。他们直接将这种方法应用 于投资组合优化问题。这种方法包括执行一个双层优化程序，同时最小化两个目标 函数：一个与决策相关的，另一个与参数估计相关的损失函数。 我们的文章可以被视为预测和优化方法的一部分。然而，通过多元线性回归和 投资组合选择问题的一阶条件之间的等价性（Britten-Jones，1999），实现了同 时估计和优化。这使我们能够直接获得参数的最佳收缩水平，以最小化决策变量的 均方误差。换句话说，满足最优性条件的投资组合权重的均方误差被最小化。需要 注意的是，这种方法提高了模型的预测能力，并为决策变量提供了稳定性。 在预测和优化的新方法中，使用均方误差最小化方法的优势值得注意。正如 Cai 等（2024）指出的，“考虑均方误差的一个巨大优势在于，它不仅捕捉了偏差方差权衡，还允许简单的分析和数值处理。” 本文对三种方法的样本外性能进行了实证评估：传统方法、Jorion（1985）的方法（估计均值向量并用其计算投资组合权重），以及 Ortiz 等（2023）提出的方 法（通过最小化投资组合权重的均方误差将均值向量收缩到其总体均值）。在最后 一种情况下，均值向量的收缩水平将作为投资组合权重均方误差的函数来确定。换 句话说，投资组合权重估计的质量决定了均值向量的压缩程度。

在评估这些方法的样本外性能时，使用了两个指标：样本外夏普比率和投资组 合权重的标准差。投资者希望获得最大的样本外夏普比率和最小的投资组合权重标 准差。假设投资者会偏好交易成本最小的稳定投资组合。Palczewski 和 Palczewski （2014，第 403 页）指出，投资组合权重的稳定性至关重要。为此评估，使用了 DeMiguel 等（2009）和 Ortiz 等（2022）的方法。 本文假设投资者仅有历史数据，并依赖现代投资组合理论来选择其投资组合。 也就是说，没有额外的信息，如投资组合经理的专家判断或另一个理论模型（例如 资产定价模型），可以提高参数估计的精度。 本研究的主要发现是，使用通过最小化投资组合权重的均方误差将均值向量收 缩到总体均值的均值向量估计方法，可以在样本数大于或等于 120 个月度观测值时 提供比 1/n 规则更高的样本外夏普比率。这种方法在估计均值向量方面优于 Jorion （1985）提出的方法和传统方法，无论是在样本外夏普比率还是投资组合权重的波 动性方面。还观察到，这种方法产生的平均估计均值比其他方法更稳定。 最后，需要注意的是，在本文中，协方差矩阵是使用传统方法估计的，即没有 像 Ortiz 等（2023）那样进行调整以纠正多重共线性。然而，我们表明，仅仅改进 均值向量的估计就可以减少投资组合权重的波动性，并通过超越 1/n 规则来提高样 本外的夏普比率。这些结果与 Palczewski 和 Palczewski（2014）的断言相矛盾， 即即使纠正均值向量估计的误差，MPT 在其投资组合权重中也会高度不稳定。

2 结果与讨论

2.1 数据

我们考虑了五个数据库： 30 个工业行业投资组合（1926 年 7 月至 2024 年 9 月）。 25 个按规模和账面市值比排序的股票投资组合（1926 年 7 月至 2024 年 9 月）。 25 个按账面市值比和盈利能力排序的股票投资组合（1963 年 7 月至 2024 年 9 月）。 32 个按规模、账面市值比和盈利能力形成的股票投资组合（1963 年 7 月 至 2024 年 9 月）。 40 个美国大盘股（1980 年 3 月至 2023 年 9 月）。 前四个投资组合风险溢价的数据集来自 French 的网站。

2.2 投资组合权重的标准差

以下是考虑移动样本大小为 50、100、150、150、200 和 250 个月度观测值时 的投资组合权重的标准差。 以下是投资组合权重的平均波动率。然而，仅提供 30 个工业行业投资组合数 据集的单个投资组合权重的分解。 对于其他数据集，提供了所有投资组合权重的标准差及其使用每种方法估计的 均值的标准差的总结。

总之，Ortiz 方法在估计均值向量时比其他方法提供了更高的夏普比率，投资 组合权重的波动性更低，且均值向量的估计更准确。这可能表明均值的假设基本价 值是稳定的。Jorion 的收缩方法比 1/?规则提供了更好的样本外夏普比率。然而， 投资组合权重的波动性非常高。 本文表明，通过最小化投资组合权重的均方误差将均值向量收缩到其总体均值 时，投资组合权重的波动性会降低。在 Ortiz（2023）中，显示了当收缩协方差矩 阵时，这种波动性也会降低。在这两种情况下，都可以超越 1/?规则。因此，同时收缩均值向量和协方差矩阵的结果值得探究。Best 和 Grauer（1991，1992）揭示 了导致投资组合权重不稳定的本质因素：协方差矩阵的最小特征值以及最大特征值 与最小特征值的比率。后来，Palczewski 和 Palczewski（2014）表明，这种关系 更为复杂，取决于协方差矩阵的整个谱和均值向量。Palczewski 和 Palczewski （2014）还量化了均值估计误差对投资组合权重波动性的影响。他们得出结论，即 使使用收缩或贝叶斯估计，均值估计误差仍会在投资组合优化过程中留下相当大的 不稳定性。本文支持这一主张。这些方法通过最小化均值向量的均方误差来收缩均 值向量。然而，如果通过减少投资组合权重的均方误差来收缩均值向量，MPT（现 代投资组合理论）将稳定运行。 借助 Butler 和 Kwon（2023）、Cai 等（2024）以及 Elmachtoub 和 Grigas （2022）的论点，我们可以认为，该方法在最小化投资组合权重的均方误差方面的 优越性能来自于其同时进行的估计和优化。相比之下，传统方法和 Jorion 方法将估 计过程与优化过程分开进行。

3 结论

本文表明，通过寻求最小化投资组合权重的均方误差来估计均值向量，可以使 优化过程稳定运行，并超越 1/?规则的表现。同时指出，若通过最小化均值向量的 均方误差来进行均值向量的收缩，虽能超越 1/?规则，但会在投资组合优化中引入 不稳定性。自现代投资组合理论诞生以来，它面临诸多挑战，样本外性能及模型运 行稳定性是关键问题。本文为投资组合管理人提供了一种通过优化帮助投资者获取 更高回报的方法。未来研究将探索同时收缩协方差矩阵和均值向量对现代投资组合 理论的影响、资产组合优于单个资产的原因，以及最优数据样本量的确定。

（本文仅供参考，不代表我们的任何投资建议。如需使用相关信息，请参阅报告原文。）